Hi Tobi,
möglicherweise hat das Getriebe doch schon gelitten, als der Kühler defekt war.
Ich würde erst mal nur einen normalen Getriebeölwechsel durchführen nach dem Motto "Drain and fill", d.h. es wird nur die Menge gewechselt, die beim Öffnen der Ablassschraube rausgeht (auslitern!). Wichtig ist hier die Wahl des richtigen ATF- Fluids. Dexron o.ä. mögen die japanischen Wandler nicht. Dein Getriebe ist wahrscheinlich entweder für Toyota ATF Type IV oder Toyota ATF WS ausgelegt (steht in der Bedienungsanleitung). Nur das sollte da rein. Die gibt es entweder original beim FTH oder auch von Ravenol oder Mannol o.ä.
Ich persönlich würde keine Spülung machen... lieber falls nicht schon geschehen mal den Filter (wahrscheinlich über die Getriebeölwanne erreichbar) tauschen und die Ölwanne innen reinigen.
Gruß Jan